“Se experimentar prazer com a Matemática, não a esquecerá facilmente e haverá, então, uma grande probabilidade de que ela se torne alguma coisa mais: uma ocupação favorita, uma ferramenta profissional, a própria profissão, ou uma grande ambição.”
George Pólya
No passado Domingo, dia 27 de Setembro, decorreram em Portugal as Eleições Legislativas. Este acto eleitoral tem como objectivo formar o Governo.
A procura da efectiva representatividade do eleitorado, ou seja, do sistema eleitoral perfeito, conduziu os matemáticos à criação de sistemas eleitorais proporcionais, por forma a assegurar a representação das diversas correntes de opinião, garantindo que as minorias passem a ter expressão no universo político.
Estes sistemas eleitorais têm como base a Matemática e o mais utilizado é o chamado “Método de Hondt“, que é aquele que é utilizado em Portugal para o apuramento do número de deputados de cada partido com assento na Assembleia da República, tal como aconteceu no Domingo.
Mais uma vez a Matemática deu o seu contributo em algo realmente importante como a formação do nosso Governo para os próximos quatro anos ;-).
De uma forma geral, o método consiste numa fórmula matemática, ou algoritmo, destinada a calcular a distribuição dos mandatos pelos partidos concorrentes, em que cada mandato é sucessivamente alocado à lista cujo número total de votos dividido pelos números inteiros sucessivos, começando na unidade (isto é no número 1) seja maior. O processo de divisão prossegue até se esgotarem todos os mandatos e todas as possibilidades de aparecerem quocientes iguais aos quais ainda caiba um mandato. Em caso de igualdade em qualquer quociente, o mandato é atribuído à lista menos votada.
Para mais informações sobre o Método de Hondt consulta: www.stape.pt/hondt/.hondt
“Os números são o degrau mais alto do conhecimento, são o conhecimento em si.”
Platão
Um voo pelo Mundo da Geometria Fractal, onde se conjuga simetria, cor e perfeição…
Boa viagem 😉
Nas minhas incursões pela Internet, descobri este fim-de-semana um poema que me pareceu interessante para reflexão.
É um poema de Bertolt Brecht (poeta alemão) e diz:
“Se não morre aquele que planta uma árvore
e nem morre aquele que escreve um livro
com mais razões não deve morrer o educador.
Pois ele semeia nas almas
e escreve nos espíritos.”
“Conhece a Matemática e dominarás o Mundo.”
Galileu Galilei
«Fractais são formas igualmente complexas no detalhe e na forma global.»
Esta é a definição de fractal de Benoit Mandelbrot, matemático francês, nascido na Polónia, que descobriu a geometria fractal na década de 70. Quando estava a preparar a sua primeira obra importante sobre fractais para publicar num livro, Mandelbrot sentiu necessidade de encontrar um nome para a sua geometria. Deu consigo a consultar um dicionário de latim do seu filho, onde encontrou o adjectivo fractus, do verbo frangere, que significa quebrar. Criou, então, a palavra fractal.
Durante séculos, os objectos e os conceitos da geometria euclidiana foram considerados como os que melhor descreviam o mundo em que vivemos. A descoberta de geometrias não-euclidianas introduziu novos objectos que representam certos fenómenos do Universo, tal como se passou com os fractais. Assim, considera-se hoje que tais objectos retratam formas e fenómenos da Natureza.
A ideia dos fractais teve a sua origem no trabalho de alguns matemáticos entre 1875 e 1925. Esse trabalho deu a conhecer alguns objectos, catalogados como “monstros”, que se supunha não terem grande valor científico. Tais objectos acabaram por adquirir um estatuto de dignidade matemática, constituindo hoje uma área importante de investigação matemática. Um dos fractais mais conhecido é o conjunto de Mandelbrot, que se apresenta seguidamente.
Fractal - Conjunto de Mandelbrot
O que é um fractal?
Tecnicamente, um fractal é um objecto que não perde a sua forma à medida que é ampliado, mantendo-se a sua estrutura idêntica à original. Pelo contrário, uma circunferência parece perder a sua curvatura à medida que ampliamos uma das suas partes. Existem duas categorias de fractais: os fractais geométricos, que repetem continuamente um padrão idêntico, e os fractais aleatórios.
As principais propriedades que caracterizam os fractais são a auto-semelhança e a complexidade infinita. Outra característica importante dos fractais é a sua dimensão.
A auto-semelhança é a simetria através das escalas. Consiste em cada pequena porção do fractal poder ser vista como uma réplica de todo o fractal numa escala menor. Esta propriedade pode ser vista, por exemplo, na couve-flor.
A complexidade infinita prende-se com o facto de o processo gerador dos fractais ser recursivo, tendo um número infinito de iteracções.
A dimensão dos fractais, ao contrário do que sucede na geometria euclidiana, não é necessariamente uma quantidade inteira. Com efeito, ela é uma quantidade fraccionária. A dimensão de um fractal representa o grau de ocupação deste no espaço, que tem a ver com o seu grau de irregularidade.
Os fractais deram origem a um novo ramo da matemática, muitas vezes designado como a geometria da natureza. As formas estranhas e caóticas dos fractais descrevem alguns fenómenos naturais, como os sismos, o desenvolvimento das árvores, a estrutura da sua casca, a forma de algumas raízes (como, por exemplo, do gengibre), a linha de costa marítima, as nuvens. Este novo tipo de geometria aplica-se na astronomia, na meteorologia, na economia e no cinema.
Fractais na Natureza
Alguns objectos da Natureza, como montanhas, árvores e plantas, têm propriedades fractais. Na imagem que se segue, podemos observar em vários níveis de ampliação a complexidade e pormenor de um feto. Este feto apresenta a propriedade de auto-semelhança, característica dos fractais. Com efeito, as várias ampliações, sinalizadas na imagem inicial a laranja e a azul, são muito semelhantes a essa imagem. Estas propriedades sugerem uma ligação entre os fractais e a natureza.
Fractal - Feto um objecto da natureza fractal
No livro Timeu, escrito por volta do ano de 350 a.C., Platão apresenta a teoria segundo a qual os quatro “elementos” admitidos como constituentes do mundo – o Fogo, o Ar, a Água e a Terra – eram todos agregados de sólidos minúsculos. Além disso, defendia ele, uma vez que o mundo só poderia ter sido feito a partir de corpos perfeitos, que estes elementos deveriam ter a forma de sólidos geométricos regulares.
Os Cinco Sólidos Geométricos Regulares
Sendo o mais leve e o mais violento dos elementos, o Fogo deveria ser um tetaedro.
Como o mais estável dos elementos, a Terra deveria ser constituída por cubos.
Como o mais inconstante e fluido, a Água tem que ser um icosaedro, o sólido regular capaz de rolar mais facilmente.
Quanto ao ar, Platão observou que “o ar é para a água o que a água é para o ar” e conclui, de forma algo misteriosa, que o Ar deve ser o octaedro.
Finalmente, para não deixar de fora um sólido regular, atribuiu ao dodecaedro a representação da forma de todo o Universo ( O Cosmos).
Por muito excêntrica e fantástica que esta teoria possa parecer aos nossos olhos, nos séculos XVI e XVII foi levada muito a sério, mesmo que não fosse completamente aceite como verdadeira, quando Joahanes Kepler começou as suas buscas sobre a ordem matemática no mundo à sua volta. Os desenhos que se reproduzem na figura seguinte são ilustrações do próprio Kepler sobre a teoria de Platão.
Os cinco Sólidos Platónicos.
Quantos cubos vês na figura? 6 ou 7?
Será que os lados do quadrado são rectos?
Quantos pontos brancos consegues contar? E pretos?
“O universo (…) não pode ser compreendido a menos que primeiro aprendamos a linguagem no qual ele está escrito. Ele está escrito na linguagem matemática e os seus caracteres são o triângulo, o círculo e outras figuras geométricas, sem as quais é impossível compreender uma palavra que seja dele: sem estes, ficamos às escuras, num labirinto escuro.”
Galileu Galilei – 1626
Fascínio pela Matemática 