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Problema matemático com 80 anos finalmente resolvido

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Conjunto de Sidon decifrado por três investigadores

O matemático húngaro Simon Sidon desafiou o seu estudante Paul Erdös, em 1932, com uma fórmula de difícil resolução. Aliás, ainda não tinha sido decifrada até agora, mas entretanto dois investigadores espanhóis e um húngaro – Javier Cilleruelo, da Universidade Autónoma de Madrid e do Instituto de Ciências Matemáticas; Carlos Vinuesa, da mesma instituição e da Universidade de Cambridge, Reino Unido e Imre Ruzsa, do Instituto Alfréd Rényi, Budapeste – chegaram à resposta combinando técnicas probabilísticas, combinatórias, analíticas e algebraicas.

O problema dos conjuntos generalizados tem mais de 80 anos e originalmente apresenta-se da seguinte forma: «Qual é o maior tamanho de um conjunto de números, todos eles menores de uma quantidade dada, em que todas as somas dos elementos têm resultados diferentes?». A um conjunto de números que cumpra esta condição chama-se conjunto de Sidon. Por exemplo, {1, 2, 5, 10, 16, 23, 33, 35} pertence a esta categoria. Por outro lado, o conjunto {1, 3, 7, 10, 17, 23, 28, 35} não pode ser considerado por inserir somas repetidas como 1+23=7+17.

Os conjuntos generalizados de Sidon, tornaram-se num clássico da teoria combinatória de números, segundo explicam os especialistas de i-Math. O húngaro Ruzsa uniu-se aos dois matemáticos espanhóis“quando viu o resultado deles e propôs combinar ambos métodos”.

Cilleruelo avançou a um diário espanhol que o resultado foi um autêntico encaixe de peças diferentes” e por isso de tão difícil resolução. Este investigador adiantou mesmo que andou duas décadas a debruçar-se e a pensar sobre este problema.

A solução causou alguma surpresa, segundo referiram os especialistas, por esperarem que os conjuntos generalizados fossem mais pequenos do que afinal resultaram ser. O problema ainda não tem aplicações imediatas fora da matemática, apesar da versão em duas dimensões ser utilizada no desenho de radares.

Fonte: Ciência Hoje (02-12-2010)

Resolução de Problemas

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” Resolver problemas é uma arte que tem de ser praticada, tal como nadar, esquiar, tocar piano: aprende-se imitando e praticando…

Se queres aprender a nadar, tens de te meter dentro de água e praticar.

Se queres aprender a resolver problemas, tens de resolver problemas. “

George Pólya

Para Reflectir…

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“Uma grande descoberta resolve um grande problema. Mas há sempre alguma descoberta na resolução de qualquer problema. Este pode até ser modesto, mas se desafiar a curiosidade e se puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver pelos seus próprios meios experimentará o prazer e o triunfo da descoberta.”

G.Pólya

A arte de resolver problemas…

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Diariamente na aula de Matemática e em situações do teu quotidiano deparas-te com a necessidade de encontrar respostas para problemas.

George Pólya (matemático húngaro, 1887 – 1985), diz que “Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O Problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus meios, experimenta o sentimento da autoconfiança e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e no carácter“.

Este matemático propôs um modelo para resolução de problemas, no qual sugere que se percorram as quatro fases seguintes:

1. Compreensão do problema.

2. Estabelecimento de um plano.

3. Execução do plano.

4. Reflexão sobre o que foi feito.

 

Fases

Questões que deves colocar?

  1. Compreensão do problema
  • Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condição?
  • É possível satisfazer a condição? A condição é suficiente para determinar a incógnita? Ou é insuficiente? Ou excessiva? Ou contraditória?
  • Desenha uma figura. Adopta uma notação adequada.
  • Separa as diversas partes da condição. É possível defini-las de outro modo? Comentá-las ?
              

  

2. Estabelecimento de um plano

  • Já viste este problema antes? Ou já viste o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente diferente?
  • Conheces um problema relacionado? Ou um que seja útil aqui?
  • Conheces um teorema que lhe poderia ser útil? Ou uma propriedade?
  • Olha bem para a incógnita! Pensa num problema conhecido que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante.
  • Eis um problema correlacionado e já antes resolvido. É possível utilizá-lo? É possível utilizar o seu resultado? É possível utilizar o seu método? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar para tornar possível a sua utilização?
  • É possível reformular o problema? É possível reformulá-lo ainda de outra maneira? Volta às definições.
  • Se não puderes resolver o problema proposto, procura primeiro resolver algum problema correlacionado.
  • É possível imaginar um problema correlato mais acessível? Ou um que seja mais genérico? Ou um que seja mais específico? Ou um que lhe seja análogo?
  • É possível resolver uma parte do problema? Mantém apenas uma parte da condição, deixa a outra de lado; até que ponto fica assim determinada a incógnita? Como pode ela variar?
  • É possível obter dos dados alguma coisa de útil? É possível pensar em outros dados apropriados para determinar a incógnita?
  • É possível variar a incógnita, ou os dados, ou todos eles, se necessário, de tal maneira que fiquem mais próximos entre si?
  • Serviste-te de todos os dados? Utilizaste toda a condição?
  • Tiveste em conta todas as noções essenciais que estão no problema?
  3. Execução do plano
  • Ao executares o teu plano de resolução, verifica cada passo. É possível verificar claramente que cada passo está correcto? É possível demonstrar que ele está correcto?
 4. Reflexão sobre a solução obtida
  • É possível verificar o resultado? É possível verificar o raciocínio?
  • É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É possível perceber isto num relance?
  • É possível utilizar o resultado, ou o método, para outros problemas?
  • O resultado obtido tem sentido no contexto do problema?

Adaptado de “A arte de resolver problemas“, de George Polya,
ed. Interscience, 1995

 Com estas sugestões apenas me resta desejar que todos os problemas matemáticos tenham a partir de hoje uma solução 😉

Bom trabalho…

Olimpíadas Portuguesas de Matemática – 2009

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Olimpíadas

Mais uma vez os alunos do Colégio participaram na competição das Olimpíadas Portuguesas de Matemática organizadas anualmente pela Sociedade Portuguesa de Matemática.

No presente ano inscreveram-se alunos nas Pré – Olimpíadas (7º ano) e na categoria A (8º ano e 9º ano).  Na categoria A participaram treze alunos da turma de 8º ano e dois alunos da turma do 9º ano e nas Pré – Olimpíadas participaram cinco alunos da turma do 7º ano.

Os problemas propostos nesta competição apelaram ao conhecimento, ao raciocínio e a criatividade dos alunos e são factores importantes na determinação das classificações o rigor lógico, a clareza da exposição e a elegância da resolução.

A realização destas provas teve como objectivos:

  • Incentivar e desenvolver o gosto dos alunos pela Matemática;
  • Despertar o interesse dos alunos para concursos matemáticos;
  • Desenvolver nos alunos o raciocínio matemático, a criatividade e a imaginação.
  • Detectar vocações precoces nesta área de saber;

Os alunos mostraram-se bastante interessados tendo participado com bastante empenho e entusiasmo.

Continuação de bons pensamentos matemáticos 😉

Jogo do 24 :-)

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Desde muito cedo que estamos familiarizados com o Jogo do 24, cujo objectivo é obter o número 24 subtraindo, somando, dividindo ou multiplicando os quatro algarismos de cada cartão. Cada algarismo só pode ser utilizado uma vez.

No que se segue, são apresentados alguns cartões do Jogo do 24.

Deita mãos à obra e exercita o teu cálculo mental 😉

Boas operações 😉

Jogo_Do_24_1

Jogo_1

Jogo Nº1

Jogo_2

Jogo Nº2

Jogo_3

Jogo Nº3

Jogo_4

Jogo Nº4

Jogo_5

Jogo Nº5

Jogo_6

Jogo Nº6

Jogo_7

Jogo Nº7

Jogo_8

Jogo Nº8