Monthly Archives: Setembro 2010

Desafio de Outono

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Imagina que uma árvore  tinha muitas folhas.

No primeiro dia de Outubro caíram dez  folhas e em todos os dias deste mês caiu sempre mais uma folha que no anterior.

Agora responde às seguintes questões:

Quantas folhas caíram no dia 31 do mesmo mês?

Quantas folhas caíram, ao todo, nos primeiros 10 dias?

Solução do Desafio

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Num post anterior colocou-se o seguinte desafio:

Qual é o próximo número da sequência que se segue?


2, 10, 12, 16, 17, 18, 19,…

Resposta:

O próximo número da sequência é

200

A explicação é que todos os números da sequência começam com a letra D, logo o próximo número terá de ser o 200 😉

Muito fácil, não acham??!!!


Um pouco de humor…

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O ensino da Matemática ao longo do tempo

Ensino de 1960

Um camponês vende um saco de batatas por 100 francos. As suas despesas de produção elevam-se a 4/5 do preço de venda. Qual é o seu lucro?

Ensino tradicional de 1970

Um camponês vende um saco de batatas por 100 francos. As suas despesas de produção elevam-se a 4/5 do preço de venda, ou seja, 80 francos. Qual é o seu lucro?

Ensino moderno de 1970

Um camponês troca um conjunto B de batatas por um conjunto M de moedas. O cardinal do conjunto M é igual a 100 e cada elemento de M vale um franco. Desenha 100 pontos que representem os elementos do conjunto M. O conjunto C dos custos de produção compreende menos 20 pontos que o conjunto M. Representa o conjunto C como um subconjunto M e responde à seguinte pergunta: Qual é o cardinal do conjunto L? (Escreva-o a vermelho).

Ensino renovado de 1980

Um agricultor vende um saco de batatas por 100 francos. Os custos de produção elevam-se a 80 francos e o lucro é de 20 francos. Trabalho a realizar: sublinha a palavra «batatas» e discute-a com teu colega de carteira.

Ensino reformado de 1990

Um kampunes kapitalista privilijiado enriquesse injustamente em 20 francos num çaco de batatas, analiza o testo e procura os erros de kontiudo de gramatica, de ortografia, de pontuassão e em ceguida dis o que penças desta maneira de enriquesser.”

(O Expresso, 20/02/93)

A fobia escolar tem cura

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Estamos de regresso às aulas…

Nesta altura do ano as mudanças são muitas, tanto para os alunos como para os pais.

No que se segue está um artigo muito interessante que pode ajudar os pais a compreender e a lidar com algumas situações.

Bom ano lectivo 😉

A fobia escolar tem cura

Transtorno não pode ser confundido com preguiça

Com a chegada do mês de Setembro, aproxima-se o final das férias e o regresso às aulas. Os pais sentem-se perdidos, culpados e começam a deambular como errantes em gabinetes de médicos psicólogos. As crianças preparam a mochila na véspera e, na manhã seguinte, contorcem-se de dores abdominais e dizem não conseguir ir para a escola. Os estudos dizem que existem pelos menos cinco por cento de crianças que sofrem deste síndrome – a fobia escolar – e em um por cento destes manifesta-se de forma extrema.

A primeira dificuldade reside em avaliar a natureza do problema para passar ao diagnóstico. Em França existe mesmo uma Associação para a Fobia Escolar, onde os pedopsiquiatras explicam que, muitas vezes, quando surgem os primeiros sintomas, os pais pensam que a criança finge e não tem nada. Contudo, os especialistas ressalvam que ressaltar, entretanto, que a fobia não pode ser confundida com preguiça ou um medo natural que uma criança tem diante de uma situação nova.

Este transtorno também conhecido como “ansiedade de separação”, no primeiro dia de escola, que se configura no pavor de se separar dos pais ou pessoas de importante vínculo, em preocupações constantes de que algo de ruim possa lhes acontecer ou até mesmo no medo de perdê-los. Geralmente, estas crianças, além do medo de irem para a escola, têm dificuldades em dormir sozinhas, medo de ir para casa de amigos, entre outras relutâncias em se distanciar das pessoas com as quais passa a maior parte do tempo. “Os pacientes podem apresentar sintomas, como taquicardia, insónia, tremores, palidez e vómitos”, refere a associação francesa na sua página.

Terapias

Muitas vezes, quem desenvolve essa ansiedade e medo incontroláveis são os bons alunos e não perdem rendimento escolar por isso. A fobia pode ter diferentes causas. Segundo um estudo da AFE, 80 por cento das crianças que sofrem do transtorno já foi vítima de agressão verbal ou física na escola.

No entanto, os especialistas acrescentam que nem sempre é o caso e até são bastante populares no meio escolar e podem simplesmente sofrer de ansiedade por ter medo de perder essa mesma popularidade. Existem duas formas de terapia mais comuns, explicam ainda: a terapia familiar e as cognitivo-comportamentais (TCC). O objectivo é lutar contra a ansiedade da criança, mas sem a obrigar.

O regresso às aulas pode voltar a despoletar momentos sensíveis e por isso, a terapia deve ser iniciada algum tempo antes de cada ano escolar e “tem cura”, dizem os especialistas.

Fonte: Ciência Hoje (30-08-2010)

Teoria do Caos

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Muitos fenómenos não podiam ser previstos por leis matemáticas. Os fenómenos ditos “caóticos” são aqueles onde não há previsibilidade. Por exemplo: o gotejar de uma torneira; nunca se sabe a frequência com que as gotas de água caem e não podemos determinar uma equação que possa descrevê-la. As variações climáticas e as oscilações da bolsa de valores também são caóticos. Actualmente, com o desenvolvimento da Matemática e das outras ciências, a Teoria do Caos surgiu com o objectivo de compreender e dar resposta às flutuações erráticas e irregulares que se encontram na Natureza. 

Nas últimas décadas, depois de um árduo trabalho, matemáticos e físicos elaboraram teorias para explicar o caos. Hoje  sabe-se muito a respeito de fenómenos imprevisíveis, e já é possível ver os resultados. Por exemplo, em 1997, dois americanos conseguiram encontrar uma fórmula para prever aplicações financeiras e com isso ganharam o Prémio Nobel da Economia. O caos tem pois aplicações em todas as áreas.

Uma lei básica da Teoria do Caos afirma que a evolução de um sistema dinâmico depende crucialmente das suas condições iniciais. O comportamento do sistema dependerá então da sua situação “de início”. Se analisarmos o mesmo sistema, sob outras condições iniciais, logicamente ele assumirá outros caminhos e  mostrar-se-á totalmente diferente do anterior.

    EXEMPLOS DE CAOS NA VIDA QUOTIDIANA:

 

  • Suponha que tem alguns berlindes e resolve atirá-los no chão. Ao fazer isso, observa que depois de um algum tempo os berlindes param nas suas posições. Agora junte os berlindes e repita a experiência.  Será que os berlindes se irão  posicionar exactamente como na vez anterior? É esperado que não. Mesmo que tente atirá-los da mesma posição não conseguirá ter precisão suficiente para posicioná-los correctamente.
  • O trânsito é outro exemplo.  Já observou que há dias em que o congestionamento é maior. É bem provável que o transtorno tenha sido causado por um carro acindentado, ou uma empresa dispensou os seus funcionários mais cedo e houve um fluxo maior num cruzamento e outros azares semelhantes. Mesmo assim, o número de variáveis é grande e o comportamento do sistema depende muito das condições iniciais. Nunca se sabe quando o trânsito está bom ou mau.
  • Um exemplo tradicional é o “Efeito Borboleta”, que diz essencialmente: “uma borboleta bate asas na China e causa um furacão na América” , por mais absurdo que pareça, é a realidade, os fenómenos climáticos são de comportamento caótico e de difícil previsibilidade.  
  • Já reparou nas formas do litoral e nas ilhas? Umas são alongadas, outras circulares, diferem de tamanho, mas podem ser de formas análogas. São como Fractais, a sua formação deve-se a um conjunto de forças complexas e resultaram num formato padrão. Será que existem ilhas quadradas?

Muitos outros exemplos poderiam ser citados, mas não nos esqueçamos que na natureza existem também fenómenos simples como a queda de um objecto, o som, o movimento dos astros, etc. Nem tudo é caótico. Quando falamos num sistema complexo não nos estamos a referir somente à complexidade operacional, mas também à complexidade de elementos (as subtilezas do meio em que se passa e a pluralidade de variáveis).

Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/

Porque não existe Prémio Nobel da Matemática?!!!

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Todos os anos são atribuídos seis Prémios Nobel, um em cada uma das seguintes categorias: Literatura, Física, Química, Paz, Economia, Psicologia e Medicina. Estranhamente, a Matemática está fora desta lista! A razão desta distinta ausência tem sido objecto de muitas especulações.

Uma das mais comuns – e infundadas – razões de Nobel ter decidido não atribuir um prémio à Matemática tem a ver com uma mulher a quem ele se terá declarado para que fosse sua esposa ou amante. Ela tê-lo-ia recusado em detrimento de um matemático famoso (ou tê-lo-ia traído com este). Mittag-Leffler é muitas vezes indicado como sendo a parte culposa. Não há evidências históricas que apoiem tal afirmação. Em primeiro lugar, o Sr. Nobel nunca casou e além disso há motivos mais credíveis para não haver Prémio Nobel para a Matemática. Talvez o mais válido entre eles seja o simples facto de ele não dar muita importância à Matemática e de esta não ser considerada uma ciência prática da qual a humanidade pudesse beneficiar (o principal motivo da criação da Fundação Nobel).

Nota: Para não ficarem fora da festa dos Grandes Prémios, os matemáticos do mundo decidiram lutar. No Congresso Internacional de Matemáticos(ICM) realizado em Toronto (Canadá), em 1924, foi decidido que em cada nova sessão do Congresso seriam atribuídas duas medalhas de ouro para reconhecer grandes feitos matemáticos.

 

Há outros factos relevantes:

1. Nobel nunca casou, portanto não há “esposa”. Ele teve realmente uma amante, uma vienense chamada Sophie Hess.

2. Mittag-Leffler foi um matemático importante na Suécia nos finais do século XIX, princípios do século XX. Foi o fundador do jornal Acta Mathematica, desempenhou um papel importante na carreira de Sonya Kovalevskaya e chegou a estar à frente da Stockholm Hogskola, precursora da Universidade de Estocolmo. Contudo, parece altamente improvável que ele tivesse sido um grande candidato para um Prémio Nobel da Matemática se o houvesse – até porque havia, na mesma época, matemáticos como Poincaré e Hilbert.

3. Não há evidências de que Mittag-Leffler tivesse muito contacto com Alfred Nobel (que morou em Paris nos últimos tempos da sua vida) e muito menos que houvesse inimizade entre eles por qualquer razão. Pelo contrário, perto do final da vida de Nobel, Mittag-Leffler esteve envolvido em negociações diplomáticas para tentar persuadi-lo a legar parte da sua fortuna à Hogskola. É difícil de acreditar que ele o tivesse tentado se, à priori, existissem problemas entre eles. E parece que, inicialmente, Nobel teve intenção de seguir este conselho. Depois, deve ter-lhe ocorrido a ideia do Prémio Nobel – para grande desgosto da Hogskola (para não falar no dos parentes de Nobel e da senhora Hess). De acordo com um interessante estudo de Elisabeth Crawford, “O começo da Instituição Nobel”, Cambridge Univ. Press, 1984, páginas 52-53: “Apesar de não se saber como é que os responsáveis de Hogskola acreditaram que uma grande doação estaria para chegar, esta era realmente a expectativa, e a desilusão foi enorme quando se anunciou em 1897 que Hogskola tinha sido deixada de fora do testamento final de Nobel em 1895. Seguiram-se recriminações com Pettersson e Arrhenius (rivais académicos de Mittag-Leffler na Administração de Hogskola) a divulgarem que a antipatia de Nobel por Mittag-Leffler tinha terminado no que eles chamaram o “Nobel com Asas”.

4. Uma última especulação é do foro psicológico: será que Nobel, ao escrever o seu testamento, presumivelmente repleto de grande benevolência para com a humanidade, se teria permitido a este acto de má vontade, só para distorcer os seus planos idealistas para o monumento que ele iria deixar? Nobel, inventor e industrial, não criou um prémio para a Matemática simplesmente porque não se interessava por ciências teóricas. O seu testamento falava de prémios para aquelas “invenções e descobertas” de grande benefício prático para a humanidade. Contudo, a versão das rivalidades por causa de uma mulher é, obviamente, muito mais divertida e, por isso, irá continuar a transmitir-se.

Fonte: APM – Educação e Matemática

Prémio Fields 2010 revelados no Congresso Internacional de Matemática

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Acabam de ser atribuídas em Hyderabad (Índia), onde decorre o Congresso Internacional de Matemáticos, as Medalhas Fields para 2010. Este prémio, normalmente, considerado o «Nobel da Matemática» é atribuído de quatro em quatro anos a matemáticos com menos de 40 anos que se tenham distinguido em qualquer área desta ciência.

Os prémios de 2010 foram atribuídos a Elon Lindenstrauss, da Universidade Hebraica de Jerusalém (Israel), pelo seu trabalho em teoria ergódica e aplicações à teoria de números. Ngô Bào Châu, vietnamita a trabalhar na Universidade Paris-Sud 11 (França) foi galardoado pelo seu trabalho na teoria das formas automórficas por aplicação de técnicas novas combinando álgebra e geometria.

Outro dos premiados é o russo Stanislav Smirnov, que trabalha na Universidade de Genebra, Suíça, pelo seu trabalho em Física Estatística, ao provar duas conjecturas antigas sobre simetrias em certos fenómenos físicos. Cedric Villani, do Instituto Henri Poincaré (França) obteve o prémio pela sua investigação sobre a equação de Boltzman da teoria cinética dos gases.

As medalhas foram entregues pessoalmente aos contemplados pela Presidente da Índia, Prathiba Patil e os respectivos cheques foram entregues pelo Presidente da União Internacional de Matemáticos – IMU, o húngaro Laszlo Lovasz.

Fonte: Ciência Hoje (2010-08-19)

 

Prémio Fields

Muito embora não exista o Nobel em Matemática, vários prémios são concedidos nessa área, sendo o principal a Medalha Fields, entregue desde 1936 durante os encontros do Congresso Internacional de Matemática, que se realizam a cada quatro anos, com apenas duas interrupções devido às duas guerras mundiais. Esse prémio foi idealizado pelo matemático John Charles Fields (1863-1932), professor da Universidade de Toronto e organizador do Congresso Internacional de Matemática realizado em Toronto, em 1924. O Congresso Internacional de Matemática realizado em Zurique, em 1932, acatou a proposta do prémio e a Medalha Fields foi pela primeira vez concedida no congresso seguinte, em 1936, realizado em Oslo. A Medalha Fields é concedida a matemáticos com no máximo quarenta anos de idade que tenham feito contribuições relevantes para o desenvolvimento da Matemática. O património para a concessão do premio é provavelmente dos fundos restantes da realização do congresso de Toronto acrescidos de doação deixada por Fields através de seu testamento.

Medalha Fields (frente)

Medalha Fields (verso)

A medalha Fields traz no anverso e efígie de Arquimedes com seu nome em grego (APXIMH OY ) e a seguinte inscrição:

TRANSIRE SVVM PECTUS MUNDOQVE POTIRI.

Superar as próprias limitações e dominar o Universo.

No reverso da medalha aparece uma esfera inscrita num cilindro com a inscrição:

CONGREAGATIEX TOTO ORBE MATEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE.

Matemáticos de todo o mundo reunidos prestam homenagens por obras notáveis.

Nature by numbers

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O “Nature by Numbers” é uma belíssima curta-metragem feito por Cristóbal Vila.

“A arte e a arquitetura têm usado desde a Antiguidade muitas das propriedades da Geometria e da Matemática, basta observar a aplicação refinada que foram feitas pelos arquitectos do Egipto Antigo, Grécia ou Roma ou os artistas do Renascimento como Michelangelo, Leonardo Da Vinci ou Rafael.
Porém o que para mim é mais surpreendente é que muitas dessas propriedades matemáticas também podem estar na natureza. Existem uma infinidade de casos, porém nesta animação quis deter-me em apenas três delas: a Série e Espiral de Fibonacci, a Razão Áurea ou Divina Proporção e o diagrama de Voronoi.

Espero que gostem.”

Cristóbal Vila, Zaragoza, Espanha, 2010

 

Cubo de Rubik tem solução universal: 20 movimentos

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Investigadores britânicos precisaram de super computador da Google para processar cálculos

Cubo de Rubik é um dos mais famosos jogos do mundo

Encontrar a solução para o cubo de Rubik já deu voltas à cabeça de milhões de pessoas em todo o mundo. Muitas nunca conseguiram completar o jogo criado em 1974 pelo arquitecto húngaro Ernõ Rubik.

Em 1981, o matemático Morwen Thistlethwaite chegou a um algoritmo capaz de resolver qualquer posição do cubo mágico em 52 movimentos. Desde então, o número tem vindo a ser reduzido – a última vez, em 2008, para 22.

Graças à ajuda da Google, investigadores da Universidade de Kent anunciaram o número final: 20 movimentos, nem mais nem menos.

Os cientistas determinaram que existem mais de cem mil posições iniciais e as soluções, na sua maioria, não podem requerer mais de 15 e 19 movimentos. No entanto, algumas combinações obrigam a realizar 20 voltas.

Morley Davidson, responsável pela investigação, explicou que o número de movimentos era apenas uma crença, já que ninguém tinha conseguido demonstrar esse número. Quando começou o projecto, o cientista de Kent suspeitava que qualquer jogador necessitaria de pelo menos 21 movimentos para solucionar o cubo.

Davidson e a sua equipa começaram por dividir todas as possibilidades em 2.200 milhões de grupos, cada um com 20 mil milhões de posições distintas. Inicialmente, descartaram todas as opções que poderia duplicar-se e usaram ainda a simetria para reduzir combinações idênticas.

Google ajuda no cálculo

Deste modo, a equipa britânica conseguiu reduzir as opções iniciais até aos 56 milhões de possíveis combinações. Tento em conta a quantidade de tempo que era necessário para os computadores realizarem esta operação, os investigadores decidiram pedir ajuda à Google.

“Ainda não sabemos que máquina utilizaram”, afirma Davidson, sabendo que para este processo seria necessária a participação se um super computador.

 Com os resultados, os investigadores podem afirmar que 20 era o ‘número de Deus’, já que as opções de solucionar o cubo com mais movimentos “caíram em dígitos mínimos”.

“Para mim encerrou-se o ciclo, que começou com um dos ícones dos anos 80, o cubo de Rubik”, afirmou Davidson.

Os resultados iniciais do estudo estão publicados on-line no site www.cube20.org/.

Fonte: Ciência Hoje (2010-08-12)

O Fascínio pela Matemática regressou de férias…

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Olá a todos 🙂

Após umas merecidas férias o “Fascínio pela Matemática” está de volta 😉

Espero que continuem a encontrar por aqui artigos interessantes e úteis que vos permitam alimentar o gosto pela Matemática…

Bom trabalho para todos e um excelente  ano lectivo 🙂 Continuo à espera dos vossos comentários e sempre que tiverem algo que considerem interessante enviem que eu publico…

Até breve 🙂