Arquivo da Categoria: Matemática – geral-CIC

Para reflectir…

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” A importância prática de estudar Matemática é extensamente reconhecida, mas relativamente poucos irão admitir que a Matemática da vida quotidiana pode ser um tópico atraente para o pensamento desocupado. A Matemática, no entanto, fornece uma maneira de ver o mundo e desenvolver uma consciência ou atitude matemática pode melhorar as nossas rotinas diárias.”

Excerto retirado do livro “O circo da Matemática” de John Allen Paulos

John Allen Paulos é professor de Matemática e reitor da Universidade Temple em Filadélfia

Sudoku – Um jogo de lógica e raciocínio ;-)

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Sudoku é uma palavra japonesa que significa “números que devem estar sós”.
No Japão, este puzzle tornou-se popular em 1986, mas só em 2005 se popularizou internacionalmente.
Um Sudoku é um puzzle em que se têm de preencher as casa vazias com algarismos de 1 a 9, de modo a que o mesmo algarismo não se repita em cada linha, coluna e quadrado.
 
Um puzzle sudoku tem a ver com a lógica e não com conhecimentos de Matemática.
 
Para facilitar a resolução de um sudoku deve procurar-se para cada casa quais os números que a podem ocupar – que são os que não aparecem já na linha, coluna e quadrados que correspondem a esse bloco.
 
Nas casas em que só surgem um número, esse é o certo e definitivo, depois é prosseguir com o mesmo processo.
 
Só há uma solução para cada puzzle sudoku…
 
Aprende a jogar Sudoku:
 
 

Matemática Mágica – “Qual é a tua idade?”

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Qual é a tua idade?

 

Pensa num número de 1 a 7.

Com a ajuda desse número secreto, vais fazer cinco operações. Vais obter algo de muito revelador para ti.

1. Multiplica esse número por 2.

2. Adiciona 2.

3. Multiplica o resultado por 50.

4. Se a data do teu aniversário já passou este ano, soma 9. Senão, soma 8.

5. Subtrai o ano do teu nascimento (por exemplo, se nasceste em 1970, tens de subtrair 70).

O resultado é um número com três algarismos. O primeiro é o número em que pensaste e os dois últimos são… a tua idade!!

Autor: Professor Albrecht Beutelspacher.

Nota: Esta astúcia é válida para o ano de 2009. Para 2010, tens de adicionar uma unidade nos números referidos no ponto 4. Para 2011, duas unidades e assim sucessivamente.

«The Mathematics of Darwin’s Legacy»

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Biomatemáticos do mundo reúnem-se em Lisboa

Teoria da Evolução do ponto de vista matemático

A 24 de Novembro de 1859, Charles Darwin causava furor com a publicação de sua obra-prima – «A Origem das Espécies». E 150 anos depois, nos dias 23 e 24 de Novembro, os principais biomatemáticos do mundo reúnem-se em Lisboa para discutir as últimas novidades e perspectivas do estudo matemático da Teoria da Evolução, no encontro «The Mathematics of Darwin’s Legacy».

Numa conferência que chamou a atenção até mesmo da mais conceituada revista científica do mundo, a norte-americana Science, alguns dos maiores especialistas mundiais estarão em Portugal para discutir, e expor aos estudantes, assuntos como teoria de jogos, evolução da cooperação e dinâmica adaptativa.

A abertura ficara a cargo de Warren Ewens (Universidade da Pensilvânia), detentor do Weldon Memorial Prize, que mostrará como a Matemática alterou a nossa compreensão da evolução. Serão também palestrantes Peter Schuster (Universidade de Vienna), ex-presidente da Academia de Ciências da Áustria e pioneiro nas aplicações das ideias darwinistas à química, Peter Taylor (Universidade de Queens, Canadá), um dos introdutores da dinâmica do replicador, uma das mais importantes equações da Biologia, e Benoit Perthame, (Universidade de Paris) que recebeu o prémio Blaise Pascal pelo desenvolvimento de aplicações da matemática, entre outros.

Jorge Pacheco (Universidade de Lisboa e Minho) mostrará como modelos computacionais nos ajudam a compreender a cooperação, aplicando a evolução aos seres humanos. Outros investigadores de todo o mundo mostrarão as múltiplas faces de uma interacção tão importante como pouco conhecida.

«The Mathematics of Darwin’s Legacy» está a ser organizada pelo português Centro Internacional de Matemática e pela Sociedade Europeia de Biologia Teórica e Matemática, e terá lugar nos dias na Universidade de Lisboa. O congresso tem o patrocínio da Fundação Calouste Gulbekian, da Fundação para a Ciência e Tecnologia, do Centro de Matemática e Aplicações da Universidade Nova de Lisboa e do Centro de Matemática e aplicações Fundamentais.

Fonte: Ciência Hoje

A Matemática das oliveiras

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     Depois de dois anos de investigação, a Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro (UTAD) conseguiu registar a patente de um método de datação de oliveiras que é único no mundo. O mecanismo, rápido e não destrutivo, permite, com uma pequena margem de erro, saber a idade da árvore, até um máximo de três mil anos.

    O estudo foi liderado pelo professor José Lousada, do Departamento Florestal da UTAD, depois do insistente desafio que lhe foi lançado pelo empresário André Soares dos Reis, proprietário do grupo “Oliveiras Milenares” de Oliveira de Azeméis, que se dedica à venda de árvores e que também assinou a patente.

   Uma das principais características do novo método é que “não é destrutivo” garante o investigador de 49 anos, pelo que é possível encontrar a idade da oliveira “sem lhe provocar qualquer ferida”. Por outro lado, é “relativamente rápido”.

     Trata-se de um Modelo Matemático que permite relacionar a idade com a dimensão da árvore. “Basta medirmos o perímetro e a altura, colhidos em diferentes níveis, e a partir daí estimamos os anos que ela tem“, explica José Lousada. Contudo, apesar de a metodologia ser sempre a mesma, há um parâmetro diferente para cada espécie. Por enquanto, o que está desenvolvido e validado apenas serve para as oliveiras. Para outras espécies será necessário mais trabalho de investigação.

Leonor Paiva Watson

Fonte: Jornal de Notícias, 15 de Novembro de 2009

A arte de resolver problemas…

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Diariamente na aula de Matemática e em situações do teu quotidiano deparas-te com a necessidade de encontrar respostas para problemas.

George Pólya (matemático húngaro, 1887 – 1985), diz que “Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O Problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver por seus meios, experimenta o sentimento da autoconfiança e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e no carácter“.

Este matemático propôs um modelo para resolução de problemas, no qual sugere que se percorram as quatro fases seguintes:

1. Compreensão do problema.

2. Estabelecimento de um plano.

3. Execução do plano.

4. Reflexão sobre o que foi feito.

 

Fases

Questões que deves colocar?

  1. Compreensão do problema
  • Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condição?
  • É possível satisfazer a condição? A condição é suficiente para determinar a incógnita? Ou é insuficiente? Ou excessiva? Ou contraditória?
  • Desenha uma figura. Adopta uma notação adequada.
  • Separa as diversas partes da condição. É possível defini-las de outro modo? Comentá-las ?
              

  

2. Estabelecimento de um plano

  • Já viste este problema antes? Ou já viste o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente diferente?
  • Conheces um problema relacionado? Ou um que seja útil aqui?
  • Conheces um teorema que lhe poderia ser útil? Ou uma propriedade?
  • Olha bem para a incógnita! Pensa num problema conhecido que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante.
  • Eis um problema correlacionado e já antes resolvido. É possível utilizá-lo? É possível utilizar o seu resultado? É possível utilizar o seu método? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar para tornar possível a sua utilização?
  • É possível reformular o problema? É possível reformulá-lo ainda de outra maneira? Volta às definições.
  • Se não puderes resolver o problema proposto, procura primeiro resolver algum problema correlacionado.
  • É possível imaginar um problema correlato mais acessível? Ou um que seja mais genérico? Ou um que seja mais específico? Ou um que lhe seja análogo?
  • É possível resolver uma parte do problema? Mantém apenas uma parte da condição, deixa a outra de lado; até que ponto fica assim determinada a incógnita? Como pode ela variar?
  • É possível obter dos dados alguma coisa de útil? É possível pensar em outros dados apropriados para determinar a incógnita?
  • É possível variar a incógnita, ou os dados, ou todos eles, se necessário, de tal maneira que fiquem mais próximos entre si?
  • Serviste-te de todos os dados? Utilizaste toda a condição?
  • Tiveste em conta todas as noções essenciais que estão no problema?
  3. Execução do plano
  • Ao executares o teu plano de resolução, verifica cada passo. É possível verificar claramente que cada passo está correcto? É possível demonstrar que ele está correcto?
 4. Reflexão sobre a solução obtida
  • É possível verificar o resultado? É possível verificar o raciocínio?
  • É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É possível perceber isto num relance?
  • É possível utilizar o resultado, ou o método, para outros problemas?
  • O resultado obtido tem sentido no contexto do problema?

Adaptado de “A arte de resolver problemas“, de George Polya,
ed. Interscience, 1995

 Com estas sugestões apenas me resta desejar que todos os problemas matemáticos tenham a partir de hoje uma solução ;-)

Bom trabalho…

Sistemas de Numeração

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Na Antiguidade, cada civilização desenvolveu o seu próprio sistema de numeração que tinha as suas regras e diferentes símbolos para representar números, como se pode ver no quadro seguinte:
Sistemas_De_Numeração

Sistemas de Numeração

Dos diversos sistemas de numeração apresentados, a numeração romana é aquela que ainda hoje é conhecida e usada por nós.

Os romanos usaram o alfabeto para representar números:

 
 I     II     III     IV     V     VI     VII     VIII     IX     X     L     C     D     M
 

Apesar destes numerais serem suficientes para escrever qualquer número sem confusões, acontecia haver números com um numeral muito grande (por exemplo, 5878 = MMMMMDCCCLXXVIII).

As multiplicações e divisões eram praticamente impossíveis neste sistema de numeração…

Os romanos para efectuarem os cálculos recorriam muitas vezes aos Ábacos de Fichas.

Ábaco

Ábaco

O nosso sistema de numeração actual é muito mais simples e prático ;-)

Olimpíadas Portuguesas de Matemática – 2009

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Olimpíadas

Mais uma vez os alunos do Colégio participaram na competição das Olimpíadas Portuguesas de Matemática organizadas anualmente pela Sociedade Portuguesa de Matemática.

No presente ano inscreveram-se alunos nas Pré – Olimpíadas (7º ano) e na categoria A (8º ano e 9º ano).  Na categoria A participaram treze alunos da turma de 8º ano e dois alunos da turma do 9º ano e nas Pré – Olimpíadas participaram cinco alunos da turma do 7º ano.

Os problemas propostos nesta competição apelaram ao conhecimento, ao raciocínio e a criatividade dos alunos e são factores importantes na determinação das classificações o rigor lógico, a clareza da exposição e a elegância da resolução.

A realização destas provas teve como objectivos:

  • Incentivar e desenvolver o gosto dos alunos pela Matemática;
  • Despertar o interesse dos alunos para concursos matemáticos;
  • Desenvolver nos alunos o raciocínio matemático, a criatividade e a imaginação.
  • Detectar vocações precoces nesta área de saber;

Os alunos mostraram-se bastante interessados tendo participado com bastante empenho e entusiasmo.

Continuação de bons pensamentos matemáticos ;-)

Números Amigos :-)

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Dois números inteiros são amigos quando cada um deles é igual à soma dos divisores próprios do outro (os divisores próprios de um número inteiro são os divisores positivos do número à excepção do próprio número).

Por exemplo, 220 e 284 são números amigos.

Os divisores próprios de 220 são: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110, cuja soma é 284:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Os divisores próprios de 284 são: 1, 2, 4, 71 e 142, cuja soma é 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Estes dois números, 220 e 284, é o par de números amigos, com números mais pequenos que se conhece e a sua descoberta é atribuída a  Pitágoras (filósofo e matemático grego, 570 a.C. – 571 a.C.).

Outros números amigos foram descobertos com o passar do tempo.

Pierre Fermat (matemático francês, 1601 – 1665) anunciou em 1636 um novo par de números amigos, os números 17296 e 18416 mas, na verdade, tratou-se de uma redescoberta pois o árabe al-Banna (1256 – 1321) já tinha encontrado este par de números no fim do século XIII.

A René Descartes (filósofo, físico e matemático francês, 1596-1650) é atribuída a descoberta de outro par de números amigos, os números 9 363 584 e 9 437 065.

Leonardo Euler (matemático suíço, 1707 – 1783) estudou sistematicamente os números amigos e descobriu em 1747 uma lista de trinta pares de números amigos, que ele próprio ampliou mais tarde para mais de sessenta pares.

Todos os números amigos inferiores a um bilhão já foram encontrados.

Os números amigos e a magia


Para os Pitagóricos os números amigos simbolizavam a harmonia mútua, a amizade perfeita e o amor.

Os números amigos aparecem várias vezes na literatura árabe, pois para estes tinham um papel especial na magia e na astrologia, na construção de horóscopos, na bruxaria, na preparação de poções mágicas e na construção de talismãs.

Na história do árabe Ibn Khaldun (1332-1406) lê-se, o seguinte, sobre os números amigos:

« …a prática da arte dos talismãs também nos fez reconhecer a virtudes maravilhosas dos números amigos. Estes números são 220 e 284. Chamamos-lhes amigáveis porque a parte alíquota de um deles quando adicionada dá uma soma igual ao outro. As pessoas que se ocupam, dos talismãs afirmam que estes números têm uma influência particular no estabelecimento da união e da amizade entre duas pessoas. … em cada um deve-se inscrever um dos números indicados, mas atribuindo o mais forte à pessoa cuja amizade se quer ganhar, a pessoa amada. Eu não sei se pelo mais forte se quer designar o maior, ou o que tem um maior número de partes alíquotas.»